線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 1.2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.5

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} | + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.4

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) ((1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - λ) (- 1 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.2

$- λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.3

$- λ \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.3.2

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.2

$- λ$ と $λ$ をたし算します。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.3

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + λ^{2} - 2) + 0$

ステップ 1.5.4.2.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$

ステップ 1.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$0 + (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.1

$0$ と $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$

ステップ 1.5.5.1.2

$(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$

ステップ 1.5.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 1 (λ^{2} - 3) - λ (λ^{2} - 3)$

ステップ 1.5.5.2.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ (λ^{2} - 3)$

ステップ 1.5.5.2.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

ステップ 1.5.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1

$- 1 λ^{2}$ を $- λ^{2}$ に書き換えます。

$p (λ) = - λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

ステップ 1.5.5.3.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

ステップ 1.5.5.3.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 3$

ステップ 1.5.5.3.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 3$

ステップ 1.5.5.3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 3$

ステップ 1.5.5.3.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{3} - λ \cdot - 3$

ステップ 1.5.5.3.4

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{3} + 3 λ$

ステップ 1.5.5.4

$3$ を移動させます。

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 3 λ + 3$

ステップ 1.5.5.5

$- λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 3 λ + 3$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} - λ^{2} + 3 λ + 3 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(- λ^{3} - λ^{2}) + 3 λ + 3 = 0$

ステップ 1.7.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$λ^{2} (- λ - 1) - 3 (- λ - 1) = 0$

ステップ 1.7.1.2

最大公約数 $- λ - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- λ - 1) (λ^{2} - 3) = 0$

ステップ 1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- λ - 1 = 0$

$λ^{2} - 3 = 0$

ステップ 1.7.3

$- λ - 1$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$- λ - 1$ が $0$ に等しいとします。

$- λ - 1 = 0$

ステップ 1.7.3.2

$λ$ について $- λ - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- λ = 1$

ステップ 1.7.3.2.2

$- λ = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.2.2.1

$- λ = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.7.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{λ}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.7.3.2.2.2.2

$λ$ を $1$ で割ります。

$λ = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.7.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.2.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$λ = - 1$

ステップ 1.7.4

$λ^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

$λ^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$λ^{2} - 3 = 0$

ステップ 1.7.4.2

$λ$ について $λ^{2} - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$λ^{2} = 3$

ステップ 1.7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{3}$

ステップ 1.7.4.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$λ = \sqrt{3}$

ステップ 1.7.4.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$λ = - \sqrt{3}$

ステップ 1.7.4.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 1.7.5

最終解は $(- λ - 1) (λ^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = - 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 1 + 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.5

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.7

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.9

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ z \\ z \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \sqrt{3}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - \sqrt{3} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- \sqrt{3}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$- \sqrt{3} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2.2

$0$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$- \sqrt{3} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3.2

$0$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$- \sqrt{3} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4.2

$0$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.6

$- \sqrt{3} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.6.2

$0$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.7

$- \sqrt{3} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.7.2

$0$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.8

$- \sqrt{3} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.8.2

$0$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = \sqrt{3}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{1 - \sqrt{3}} & \frac{1}{1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{1 - \sqrt{3}} \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & - 1 - \sqrt{3} - 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{- 1 - \sqrt{3}}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} + \frac{z \sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ z \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \sqrt{3}$ .

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ステップ 5.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + \sqrt{3} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$\sqrt{3}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.2

$\sqrt{3}$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.3

$\sqrt{3}$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.4

$\sqrt{3}$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.5

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.6

$\sqrt{3}$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.7

$\sqrt{3}$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.8

$\sqrt{3}$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.9

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 5.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 5.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 5.2.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 5.2.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 5.2.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 5.2.3.5

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 5.2.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

ステップ 5.3

Find the null space when $λ = - \sqrt{3}$ .

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ステップ 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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ステップ 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{1 + \sqrt{3}} & \frac{1}{1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{1 + \sqrt{3}} \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & - 1 + \sqrt{3} - 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{- 1 + \sqrt{3}}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

ステップ 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} - \frac{z \sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ z \end{array}]$

ステップ 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例